三角関数は扱いにくいからと、「可能であるなら冪で考えたい」あるいは「冪展開で考えてはならないのか」と思われるかもしれないですが

三角関数で表現する意味としては、

・応用上、物理現象を波動として表現することが多いこと

が挙げられます。

日常生活では、波動現象として認知する機会があまりないために違和感を覚えてしまうかもしれませんが、少なくとも化学のような微小世界においてはこれ無しに語ることは出来ないほど多用します。

フーリエ解析とは

フーリエ解析とは、様々な物理現象などを三角関数の寄せ集めによって表現したいという考えのもとで行われます。

数学的には次のように表されます。

式(1)

\[ \begin{align*} f(x) &= A_0 + A_1\cos{x} + A_2\cos{2x} + \cdots + B_1\sin{x} + B_2\sin{2x} + \cdots \\[10pt] &= \sum_{n = 0}^\infty \left\{A_n\cos{(nx)} + B_n\sin{(nx)}\right\} \\ \end{align*} \]

\(f(x)\) はこれから三角関数の和で表現したい関数です。

後ほど例として \(f(x) = x\) および、\(f(x) = x^2\) を取り上げることにします。

\(A_n\) や \(B_n\) は係数であり、これらを決定することができれば原理上 \(f(x)\) を三角関数の和で表現できたことになります。

係数を求める

それでは、実際に式(1)の係数 \(A_n\) 、\(B_n\) を求めてみましょう。

どのようにするかというと、三角関数の次の性質を利用します。

式(2)

\[ \begin{align*} &\int_{-\pi}^\pi \cos{(mx)} \cdot \cos{(nx)} dx = \pi\delta_{mn} \\[10pt] &\int_{-\pi}^\pi \sin{(mx)} \cdot \sin{(nx)} dx = \pi\delta_{mn} \\[10pt] &\int_{-\pi}^\pi \cos{(mx)} \cdot \sin{(nx)} dx = 0 \end{align*} \]

等式の右辺に出てくる \(\delta_{mn}\) はその添字についている \(m\) と \(n\) が等しいとき \(1\) になり、異なるときに \(0\) になる記号です。

\[ \delta_{mn} = \left\{ \begin{align*} 1 ~ (m = n) \\ 0 ~ (m ≠ n) \\ \end{align*} \right. \]

クドいようですが、\(\delta_{11}\) や \(\delta_{22}\) などはすべて \(1\) になりますが、\(\delta_{12}\) や \(\delta_{21}\) などはすべて \(0\) になるということです。

もちろん \(\delta\) の添字の \(m\) および \(n\) は左辺に含まれる \(m\) と \(n\) に対応しています。

係数を求める前に念の為、式(2)の正しさを図を用いて確認しておきます。

【A】\(\cos(x)\cos(2x)\) の場合と【B】\(\cos^2(2x)\) の場合を例に挙げるとしましょう。

それぞれの図の上側は掛け合わせる前の三角関数、下側はかけ合わせた後の関数を示しています。

この図から伺えるように、【A】の場合のような異なる種類の三角関数の積の積分は、【B】の場合のような同じ三角関数どうしの積の積分と比較して、負の面積（青色）が現れることが分かります。

そして積算の結果、正の面積（赤色）と負の面積（青色）が打ち消し合って \(0\) になるということです。

これは、式(2)で示すように \(\sin\) 関数についても同様です。

それでは実際にこの性質を利用して展開係数を求めてみます。

まず \(A_n\) から求めることにすると、式(1)の両辺に \(\cos(mx)\) を掛けて \(-\pi \rightarrow \pi\) で積分を実行します。

式(3)

\[ \begin{align*} \int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(mx) dx &= \int_{-\pi}^\pi \sum_{n = 0}^\infty \left\{A_n\cos{(nx)} + B_n\sin{(nx)}\right\} \cos{(mx)}dx \\[10pt] &= \sum_{n = 0}^\infty \int_{-\pi}^\pi\left\{A_n\cos{(nx)} + B_n\sin{(nx)}\right\} \cos{(mx)}dx \\[10pt] &= \sum_{n = 0}^\infty \left\{\int_{-\pi}^\pi A_n\cos{(nx)}\cos{(mx)} dx + \int_{-\pi}^\pi B_n\sin{(nx)}\cos{(mx)} dx\right\} \\[10pt] &= \sum_{n = 0}^\infty (A_n\pi \delta_{mn} + 0) \\[10pt] & = A_m\pi \\[10pt] &\therefore A_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx) dx \end{align*} \]

最後に \(m\) を形式的に \(n\) に置き換えていることに注意です。

これで係数 \(A_n\) を求めることが出来ましたね。

同様に \(B_n\) を求めるには、式(1)の両辺に \(\sin(mx)\) を書けて \(-\pi \rightarrow \pi\) で積分すればよく、

式(4)

\[ \begin{align*} \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(mx) dx &= \int_{-\pi}^\pi \sum_{n = 0}^\infty \left\{A_n\cos{(nx)} + B_n\sin{(nx)}\right\} \sin{(mx)}dx \\[10pt] &= \sum_{n = 0}^\infty \int_{-\pi}^\pi\left\{A_n\cos{(nx)} + B_n\sin{(nx)}\right\} \sin{(mx)}dx \\[10pt] &= \sum_{n = 0}^\infty \left\{\int_{-\pi}^\pi A_n\cos{(nx)}\sin{(mx)} dx + \int_{-\pi}^\pi B_n\sin{(nx)}\sin{(mx)} dx\right\} \\[10pt] &= \sum_{n = 0}^\infty (0 + B_m\pi\delta_{mn}) \\[10pt] & = B_m\pi \\[10pt] &\therefore B_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx) dx \end{align*} \]

のように係数 \(B_n\) が得られます。

以上でそれぞれの係数が求まり準備が整ったかのように思えますが、ここで終了してはいけません。

整数 \(n\) が含まれるときは特に \(n = 0\) のときに注意する必要があります。

そして実は \(A_0\) は式(3)を満たしてはいないことをこれから示します。

確認のために仮に式(3)に \(n = 0\) を代入してみると、

\[ A_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx ~ (?) \]

となってしまいます。

それでは一体正しい \(A_0\) はどのように求めるのか？

そのために利用する、三角関数の性質を次に示しておきましょう。

式(5)

\[ \begin{align*} \int_{-\pi}^\pi \cos{(nx)} = 0 \\[10pt] \int_{-\pi}^\pi \sin{(nx)} = 0 \end{align*} \]

この三角関数の積分については、グラフを描いてみても結果が \(0\) になることを納得していただけるはずです。

\(\cos(3x)\) と \(\sin(2x)\) を例に挙げてみました。

\(-\pi\) から \(\pi\) の範囲で積分した際に、赤（正）と青（負）の領域の面積がそれぞれ等しくなり打ち消し合って \(0\) になります。

それでは実際に、式(5)の性質を利用して \(A_0\) を求めてみましょう。

次のように式(1)を両辺 \(-\pi \rightarrow \pi\) で積分すれば

式(6)

\[ \begin{align*} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx &= \int_{-\pi}^\pi \sum_{n = 0}^\infty \left\{A_n\cos{(nx)} + B_n\sin{(nx)}\right\} dx \\[10pt] &= \int_{-\pi}^\pi \left[ A_0 + \sum_{n = 1}^\infty \left\{A_n\cos{(nx)} + B_n\sin{(nx)}\right\} \right] dx \\[10pt] &= \int_{-\pi}^\pi A_0 dx + \int_{-\pi}^\pi \sum_{n = 1}^\infty \left\{A_n\cos{(nx)} + B_n\sin{(nx)}\right\} dx \\[10pt] &= \int_{-\pi}^\pi A_0 dx + \sum_{n = 1}^\infty \int_{-\pi}^\pi \left\{A_n\cos{(nx)} + B_n\sin{(nx)}\right\} dx \\[10pt] &= \int_{-\pi}^\pi A_0 dx + \sum_{n = 1}^\infty \left\{ \int_{-\pi}^\pi A_n\cos{(nx)} dx + \int_{-\pi}^\pi B_n\sin{(nx)} dx\right\} \\[10pt] &= \int_{-\pi}^\pi A_0 dx + 0 \\ &= 2\pi A_0 \\[10pt] &\therefore A_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx \end{align*} \]

この結果から確かに式(3)から得られるものと比較して、少しではあるものの異なる表式になることが分かります。

以上ですべての係数の具体的な表現を得ることができました。

ちなみに、ここまでの間で特に触れませんでしたが、\(B_0\) は定義していません。

\(B_0\) が \(\sin(0x) = 0\) の係数としても、そもそも項として存在していないので考える必要性はないんですね。

以上を改めてまとめると、フーリエ級数展開は次のように表現されます。

\[ \begin{align*} &f(x) = A_0 + \sum_{n = 1}^\infty \left\{A_n\cos{(nx)} + B_n\sin{(nx)}\right\} \\[10pt] &A_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx \\[10pt] &A_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx) dx \\[10pt] &B_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx) dx \end{align*} \]

数式は多少煩雑にはなっていますが、表していることは関数 \(f(x)\) を三角関数の和で表現している似すぎないのでビビるほどのものではないです。

とはいっても、特に係数 \(A_n\)や \(B_n\) は、まさか積分をまとった姿となって表現されるなんて思ってもいなかったこと…

実際問題として何をやっているのか混乱してしまうかもしれないので次の節で少し考察しておきたいと思います。

※ \(f(x)\) は何でもいいわけでは無いようです。そのためフーリエ解析を盲信し過ぎるのはよろしくないかもしれませんね。ただ、そうは言っても化学分析で応用する限りでは、あまり気にする必要は無さそうに思います。

展開係数の意味

フーリエ級数展開によって、興味のある関数 \(f(x)\) を三角関数の和で表現することができます。

式(1)

\[ f(x) = A_0 + \sum_{n = 1}^\infty \left\{A_n\cos{(nx)} + B_n\sin{(nx)}\right\} \]

この係数が積分で表現されるというのですが、今後の応用に際して理解の妨げになるかもしれないと思い、この小節で考察することにしました。

改めて係数の積分表現を以下に示します。

式(3), (4), (6)

\[ \begin{align*} &A_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx \\[10pt] &A_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx) dx \\[10pt] &B_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx) dx \end{align*} \]

よく見てみると、これは関数 \(f(x)\) と三角関数の内積になっていることがおわかりいただけるでしょうか？

つまり興味のある関数 \(f(x)\) と \(\cos(nx)\) および \(\sin(nx)\) がどの程度似ているのかを表す指標になっているということですね。

筆者の言っていることが理解できない方はこちら

そして、\(n\) を \(0\) から \(\infty\) まで動かしていくので、 \[ \begin{align*} &f(x)と\cos(0x) \\[10pt] &~~~\rightarrow f(x)と\cos(x) \\[10pt] &~~~~~~\rightarrow f(x)と\cos(2x) \\[10pt] &~~~~~~~~~\rightarrow \cdots \\[10pt] &~~~~~~~~~~~~\rightarrow f(x)と\cos(nx) \\[10pt] &~~~~~~~~~~~~~~~\rightarrow \cdots \\[10pt] &~~~~~~~~~~~~~~~~~~\rightarrow f(x)と\sin(x) \\[10pt] &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\rightarrow f(x)と\sin(2x) \\[10pt] &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\rightarrow \cdots \\[10pt] &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\rightarrow f(x)と\sin(nx) \\[10pt] &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\rightarrow \cdots \end{align*} \] と言ったように次々照合し、\(f(x)\) とそれぞれの \(\cos\) 関数あるいは \(\sin\) 関数との内積を係数 \(A_n\) , \(B_n\) として抽出していきます。

それぞれの \(\cos\) 関数あるいは \(\sin\) 関数のどれが必要なのか？

そして、必要だったとしてもどのくらいの重要度（似ている）なのか？

ということが係数値の大きさとして現れてきます。

具体例

例として二次関数 \(f(x) = x^2\) と、とりあえず \(-\cos(x)\) と \(\sin(x)\) だけを比較した図を示してみました。

この図を見てみると、\(f(x)\) は \(-\cos(x)\) とで、下に凸な部分が非常によく似ていますね。

是非とも、\(\cos(x)\) の項を含めて表現したいところです。

一方で \(\sin(x)\) は全く似ておらず、級数で表現する際の重要度はかなり低そうということを推測して下さい。

実際にはどうなるのか、その他の項（\(\cos{nx},~\sin{nx} ~ (~ n \geqq 2 ~)\)）も考慮に入れて計算してみましょう。

式(3), (4), (6)から

\[ \begin{align*} &A_0 = \frac{\pi^2}{3} \\[10pt] &A_n = (-1)^n\frac{4}{n^2} \\[10pt] &B_n = 0 \end{align*} \]

となりますので、各自で計算して確認してみて下さい。

このことからも、予想通り \(\sin\) 関数は、一切項に含まれてこないことが分かります。

以上から、\(f(x)\) を級数展開したものは式(1)を利用して次のように表されます。

\[ f(x) = x^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n = 1}^\infty (-1)^n\frac{4}{n^2} \cos{(nx)} \]

これをグラフに表すと次の図のようになり、放物線を表現できていることが確認できます。

次に \(f(x) = x\) の例も見てみましょう。

同様に、式(3), (4), (6)から係数を求めてみると、

\[ \begin{align*} &A_0 = 0 \\[10pt] &A_n = 0 \\[10pt] &B_n = B_n = (-1)^{n + 1}\frac{2}{n} \end{align*} \]

となりますので、\(f(x)\) を級数展開したものは式(1)から、

\[ f(x) = x = \sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n + 1}\frac{2}{n}\sin{(nx)} \]

というように、\(\sin\) の項のみ現れますが、実際にグラフを書いてみると

先程の放物線の例と比較してちょっとギザギザしています。

\(n\) が \(1\) から \(100\) までの項を足し合わせていますが、それでも粗さが残ってしまいますね。

更に \(101\) 番目以降の \(\sin\) の項を無限に増やした極限においては滑らかな直線になります。

フーリエ級数展開された関数の周期性

あらゆる関数が三角関数の和を用いて表現できることが分かりましたが、実はここまで全く気にしてこなかった内容があります。

それは、級数展開したい関数の定義域についてです。

前節で描いた、フーリエ級数で表現されたグラフは、実は \(-\pi < x < \pi\) の範囲でしか描いていませんでしたが、これには訳があります。

式(1)で表現されるような、\(\cos(0x) = 1\) , \(\cos(x)\) , \(\cos(2x)\) \(\cdots\) , \(\sin(x)\) , \(\sin(2x)\) \(\cdots\) を基底とする級数展開では、この範囲でしかグラフを再現することができないのです。

つまり、関数 \(f(x)\) は \(-\pi < x < \pi\) でのみ定義されるということなのです。

もし \(x\) の範囲を拡大すると、\(f(x)\) は、周期が \(2\pi\) の周期関数として表現されてしまうのです。

まず第一に \(-\pi < x < \pi\) で定義されていた \(\sin(x)\) や \(\cos(x)\) は、定義域を取り払うと周期 \(2\pi\) の周期関数となることはご存知のことと思われます。

\(f(x)\) はそんな三角関数を複数個足し合わせて作られたものなので、周期関数として表されるのは普通である…ということなのですね。

実際に \(x\) の範囲を拡張して描画させた \(f(x)\) のグラフを示してみました。

グラフを見てみると、確かにちょうど \(x = \pm\pi\) から \(2\pi\) 離れるごとにトガッタ点が現れて周期的なグラフになっていることが分かります。

また関数の周期性によって、ある地点 \(x\) の値 \(f(x)\) はその地点から \(2\pi\) の整数倍だけジャンプした先の \(f(x + 2m\pi)\) も同じ値を取ることになります。

数式を用いて表現すると、周期が \(2\pi\) の関数は

式(7)

\[ f(x) = f(x + 2m\pi) \]

と表現することができるのですね。

これはとても重要です。

とても重要なんですけど、ここでは応用を話すつもりは無いので、ちょっとした注意点だけ述べておくことにすると…

例えば、周期的な関数として表現されることを知っておかなければどういうことになるか想像つきますか？

もともと三角関数の和で再現したいと思っていた関数と、フーリエ級数によって展開した関数 \(f(x)\) が一致するのは、\(-\pi < x < \pi\) の範囲だけになりますので、

そうすると、\(f(x)\) に \(-\pi < x < \pi\) の範囲外の数値を入れてしまうと、予想とは異なる結果が得られることになるのです。

例えば \(-\pi < x < \pi\) の外にある \(x = 4\) について、\(y(4)\) と \(f(4)\) から得られる値は必ずしも等しくならないことが分かります。

以上、フーリエ級数で得られる \(f(x)\) が周期 \(2\pi\) の関数として表現されること見てきましたが、なんとも不便な気がしますね。

再現したい関数が、\(-\pi < x < \pi\) の範囲でしか一致しておらず、応用面でも問題がありそうです。

なんとかしてこの範囲の外側でも成立するような級数展開を表現したいのですが、それは次節で見てみることにします。